(см. http://www.acmephysics.narod.ru/)
Алексей Егоров
ЛЕММА 1
Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета А (с нештрихованными координатами x, y, z, t) и B (со штрихованными координатами x', y', z', t'). Инерциальная система отсчета B движется со скоростью u относительно A. Рассмотрим тело, которое движется относительно системы отсчета B со скоростью s. Пусть зависимость координаты тела в ИСО B от времени ИСО B выглядит следующим образом:
x' = s t' + a'
(Л1 1)
Пусть справедлив некоторый закон сложения скоростей: если B движется со скоростью u в системе отсчета A, С движется со скоростью s в системе отсчета B, то C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A (w[u,s] - функция двух переменных).
Тогда согласно НТО зависимость координаты тела в ИСО A от времени ИСО A выглядит следующим образом:
x = w[u,s] t + a' p[u,s]
где
p[u,s] = Gs/Gw[u,s]
Gs = (1 + s^2/c0^2)^0.5
Gw[u,s] = (1 + w[u,s]^2/c0^2)^0.5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1
Введем в рассмотрение (кроме двух инерциальных систем отсчета А и B) третью инерциальную систему отсчета Ж (с координатами x", y", z", t"), которая движется со скоростью s относительно системы отсчета B. Обозначим через w скорость движения системы отсчета Ж (и тела) относительно системы отсчета А. Лемма очевидна, если обратить внимание на формулу (7.8) сокращения продольных размеров движущегося тела. Действительно, a' - это расстояние между телом и началом системы отсчета Ж, измеренное в системе отсчета B, значит это расстояние, измеренное в системе отсчета Ж, где тело покоится, в Gs раз больше, чем a', т.е. равно a' Gs. Величина a' p[u,s] есть расстояние между телом и началом системы отсчета Ж, измеренное в системе отсчета A, значит оно в Gw раз меньше этого же расстояния, измеренного в системе отсчета Ж, т.е. величины a' Gs. Таким образом, получаем, что a' p[u,s] = a' Gs/Gw.
Для убедительности проведем доказательство леммы без использования формулы (7.8) сокращения продольных размеров движущегося тела. Будем исходить из основных преобразований координат теории. Т.к. тело покоится в ИСО Ж, то необходимо считать Ж - ПОКОЯЩЕЙСЯ ИСО, A и B - ДВИЖУЩИМИСЯ ИСО. Запишем преобразования координат и времени событий от ПОКОЯЩЕЙСЯ системы отсчета Ж к ДВИЖУЩЕЙСЯ системе отсчета B и от ПОКОЯЩЕЙСЯ системы отсчета Ж к ДВИЖУЩЕЙСЯ системе отсчета А (опуская тривиальные равенства для координат y и z)
x' = Gs (x" + Bs co t" )
cs t' = Gs(co t" + Bs x")
(Л1 7.24)
x = Gw (x" + Bw co t" )
cw t = Gw(co t" + Bw x")
(Л1 7.25)
где
Gs= (1 - Bs^2)^-0.5;
Bs= s/cs;
cs=c0*(1+s^2/c0^2)^0.5
(Л1 7.26)
Gw= (1 - Bw^2)^-0.5;
Bw= w/cw
cw=c0*(1+w^2/c0^2)^0.5
(Л1 7.27)
Разрешив преобразования (Л1 7.24) относительно координат событий в ПОКОЯЩЕЙСЯ системе отсчета Ж, получим преобразования
x" = Gs (x' - Bs cs t' )
co t" = Gs(cs t' - Bs x')
(Л1 7.28)
Подставив выражения (Л1 7.28) в преобразования (Л1 7.25), получим
x = Gs Gw (1 - Bs Bw)[x' + cs t' (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)]
cw t = Gs Gw (1 - Bs Bw)[cs t' + x' (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)]
(Л1 7.29)
Обозначим
Bws= (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)
(Л1 ~7.31)
Gws= Gs Gw (1 - Bs Bw)
(Л1 ~7.32)
Тогда (Л1 7.29) переписывается в следующем в виде:
x = Gws (x' + Bws cs t')
cw t = Gws (cs t' + Bws x')
(Л1 ~7.30)
Теперь рассмотрим события, происходящие с телом. Для этого подставим (Л1 1) в (Л1 ~7.30):
x = Gws (s t' + a' + Bws cs t')
(Л1 4)
cw t = Gws (cs t' + Bws (s t' + a'))
(Л1 5)
Из (Л1 5) выразим (cs t') через t:
cs t'=((cw/Gws)t - Bws a')/(1 + Bws Bs)
(Л1 6)
Подставим (Л1 6) в (Л1 4):
x = ( (Bws + Bu)cw t + a' Gws (1 - Bws^2))/(1 + Bws Bs)
(Л1 7)
Заметим, что выполняются соотношения (по определению (Л1 ~7.31) и (Л1 ~7.32))
1 + Bws Bs = (1 - Bs^2)/(1-Bs Bw)
Bws + Bs = Bw (1 - Bs^2)/(1-Bs Bw)
1 - Bws^2 = (1 - Bs^2)(1 - Bw^2)/(1-Bs Bw)^2
откуда
(Bws + Bs)/(1 + Bws Bs ) = Bw
(1 - Bws^2 )/(1 + Bws Bs ) = (1 - Bw^2)/(1-Bs Bw)
Gws(1 - Bws^2 )/(1 + Bws Bs ) = Gs/Gw
(Л1 8)
Подставим (Л1 8) в (Л1 7):
x = ( Bw cw t + a' Gs/Gw)
(Л1 9)
Что эквивалентно
x = ( w t + a' Gs/Gw)
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 1
ЛЕММА 2
Рассмотрим некоторую ИСО. Рассмотрим 2 тела, которые движутся относительно ИСО с разными скоростями s1 и s2. Пусть зависимости координат тел в ИСО от времени ИСО выглядят следующим образом:
x1 = s1 t + a1
(Л2 1)
x2 = s2 t + a2
(Л2 2)
Тогда тела встречаются в момент времени рассматриваемой ИСО
t12 = -(a1-a2)/(s1-s2)
и в точке с координатой в рассматриваемой ИСО
x12 = (s1 a2 - s2 a1)/(s1 - s2)
(если a1 = a2, то x12 = a1 = a2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2
Условие встречи тел:
x1 = x2 (Л2 3)
Подставим (Л2 1) и (Л2 2) в (Л2 3):
s1 t + a1 = s2 t + a2
Откуда находим момент времени при встрече тел:
t = -(a1-a2)/(s1-s2)
(Л2 4)
Подставив (Л2 4) в любое из соотношений (Л2 1) и (Л2 2) получим координату точки, где тела встречаются:
x1 = x2 = (s1 a2 - s2 a1)/(s1 - s2)
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 2
ТЕОРЕМА 1
НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s неверна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 ("Проблема трех тел в НТО")
Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета А (c нештрихованными координатами x, y, z, t) и B (со штрихованными координатами x', y', z', t'). Инерциальная система отсчета B движется со скоростью u относительно A. Рассмотрим три тела 1, 2, 3, которые движутся относительно системы отсчета B с разными скоростями s1, s2, s3 соответственно. Пусть зависимости координат тел в ИСО B от времени ИСО B выглядят следующим образом:
x1' = s1 t' + a'
(Т1 1)
x1' = s2 t' + a'
(Т1 2)
x1' = s3 t' + a'
(Т1 3)
(s1 <> s2, s2 <> s3, s3 <> s1, a' <> 0, u<>0)
Тогда согласно НТО по ЛЕММЕ 1 зависимости координат тел в ИСО A от времени ИСО A выглядят следующим образом:
x1 = w1 t + a1
(Т1 4)
x2 = w2 t + a2
(Т1 5)
x3 = w3 t + a3
(Т1 6)
где
w1 = w[u,s1]
(Т1 7)
w2 = w[u,s2]
(Т1 8)
w3 = w[u,s3]
(Т1 9)
a1 = a' p[u,s1]
(Т1 10)
a2 = a' p[u,s2]
(Т1 11)
a3 = a' p[u,s3]
(Т1 12)
Согласно НТО по ЛЕММЕ 2 тела 1 и 2 встречаются в момент времени ИСО B
t12' = 0
(Т1 17)
и в точке с координатой в ИСО B
x12' = a';
(Т1 18)
тела 2 и 3 встречаются в момент времени ИСО B
t23' = 0
(Т1 19)
и в точке с координатой в ИСО B
x23' = a';
(Т1 20)
тела 3 и 1 встречаются в момент времени ИСО B
t31' = 0
(Т1 21)
и в точке с координатой в ИСО B
x31' = a';
(Т1 22)
тела 1 и 2 встречаются в момент времени ИСО A
t12 = -(a1-a2)/(w1-w2)
(Т1 23)
и в точке с координатой в ИСО A
x12 = (w1 a2 - w2 a1)/(w1 - w2)
(Т1 24)
тела 2 и 3 встречаются в момент времени ИСО A
t23 = -(a2-a3)/(w2-w3)
(Т1 25)
и в точке с координатой в ИСО A
x23 = (w2 a3 - w3 a2)/(w2 - w3)
(Т1 26)
тела 3 и 1 встречаются в момент времени ИСО A
t31 = -(a3-a1)/(w3-w1)
(Т1 27)
и в точке с координатой в ИСО A
x31 = (w3 a1 - w1 a3)/(w3 - w1)
(Т1 28)
Видно, что в ИСО B все три тела встречаются в одно и то же время, и в одной и той же точке:
t12' = t23' = t31'
(Т1 29)
x12' = x23' = x31'
(Т1 30)
Если положить w[u,s] = u + s, то в общем случае, согласно НТО получается, что в ИСО A произвольная пара тел встречается в момент времени и точке, отличные от момента времени и точки встречи другой пары:
t12 <> t23
t23 <> t31
t31 <> t12
(Т1 31)
x12 <> x23
x23 <> x31
x31 <> x12
(Т1 32)
В частности, возьмем
u = 0.5 *c0
s1 = 0.1 * c0
s2 = 0.4 * c0
s3 = 0.9 * c0
(Т1 33)
тогда
t12 = 0.204058097987823 * a'/c0
t23 = 0.037152563068346 * a'/c0
t31 = 0.099742138663150 * a'/c0
x12 = 0.984204583732906 * a'
x23 = 0.833989602305377 * a'
x31 = 0.921615008138102 * a'
(Т1 34)
Таким образом, в НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s не выполняется важный постулат, гласящий, что если в одной системе отсчета два события происходят в одно и то же время, и в одной и той же точке, то в любой другой системе отсчета, эти события происходят в одно и то же время, и в одной и той же точке.
Откуда следует ошибочность НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1
ТЕОРЕМА 2
Не существует закона сложения скоростей, разрешающего указанную в ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ 1 "Проблему трех тел в НТО".
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2
Рассмотрим ту ситуация с тремя телами, которая описана в ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ 1. Попробуем подобрать закон сложения скоростей, чтобы выполнялось условие t12=t23=t31, x12=x23=x31.
Для начала, хотя бы попробуем подобрать функцию w[u,s] такую, чтобы выполнялось
t23=t31
(T2 1)
при
s3 = 0
(T2 2)
Покажем, что уже в таком частном случае невозможно найти подходящий закон сложения скоростей.
Подставим (Т1 25) и (Т1 27) (явные выражения t23 и t31) в (T2 1)
(a1-a3)/(w1-w3)=(a2-a3)/(w2-w3)
(Т2 3)
Подставим (Т1 7) - (Т1 12) в (Т2 3):
(p[u,s1]-p[u,s3])/(w[u,s1]-w[u,s3])=(p[u,s2]-p[u,s3])/(w[u,s2]-w[u,s3])
(Т2 4)
Подставим (T2 2) в (Т2 4):
(p[u,s1]-p[u,0])/(w[u,s1]-w[u,0])=(p[u,s2]-p[u,0])/(w[u,s2]-w[u,0])
(Т2 5)
Заметим, что в обеих частях (Т2 5) стоит одна и та же функция, но с различными произвольными ненулевыми аргументами s1 и s2. Откуда следует, что эта функция от аргумента s не зависит. Таким образом получаем:
(p[u,s]-p[u,0])/(w[u,s]-w[u,0])=q[u]
(Т2 6)
где q[u] - некоторая функция от u.
Вспомним (см. формулировку ЛЕММЫ 1), что
p[u,s] = Gs/Gw[u,s]
(Т2 7)
Gs = (1 + s^2/c0^2)^0.5
(Т2 8)
Gw[u,s] = (1 + w[u,s]^2/c0^2)^0.5
(Т2 9)
Подставим (Т2 7) в (Т2 6)
(Gs/Gw[u,s]-1/Gw[u,0])/(w[u,s]-w[u,0])=q[u]
(Т2 10)
Учитывая, что w[u,0]=u (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже), получаем:
(Gs/Gw[u,s]-1/Gu)/(w[u,s]-u)=q[u]
(Т2 11)
где
Gu = (1 + u^2/c0^2)^0.5
(Т2 12)
Подставляя s=-u и учитывая, что w[u,-u]=0 (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже), получаем:
(Gu-1/Gu)/(-u)=q[u]
(Т2 13)
С учетом (Т2 12) перепишем (Т2 13) в виде:
q[u] = -u/(Gu c0^2)
(Т2 14)
Подставим явное выражение q[u] (Т2 14) в (Т2 11):
(Gs/Gw[u,s]-1/Gu)/(w[u,s]-u)=-u/(Gu c0^2)
(Т2 15)
Можно привести (Т2 15) к виду:
1/Gw[u,s]=((u^2 - u w[u,s])/ c0^2 + 1)/(Gu Gs)
(Т2 16)
Мы получили алгебраическое уравнение для w[u,s]. Его можно решить явно, и проверить, удовлетворяет ли w[u,s] всем СВОЙСТВАМ ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ (см. ниже).
Но уже не решая уравнение (Т2 16) можно убедиться, что решение не симметрично относительно u и s.
Из требования w[u,s]= w[s,u] (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже) мы получаем, что и правая часть (Т2 16) должна быть симметричной функцией по аргументам u и s. Откуда получаем соотношение:
u^2 - u w[u,s] = s^2 - s w[s,u]
(Т2 17)
что, то же самое
(u - s) w[u,s] = u^2 - s^2
Откуда получаем
w[u,s] = u + s
(Т2 18)
Но легко проверяется, что (Т2 18) не удовлетворяет уравнению (Т2 16). К тому же из ТЕОРЕМЫ 1 мы знаем, что закон сложения скоростей вида (Т2 18) неправильный.
КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 2
СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
Закон сложения скоростей гласит:
если B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
то C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A,
где w[u,s] - некоторая функция двух переменных.
w[u,s] обладает следующими свойствами.
1) w[u,0]=u
Следует из постулата:
если B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С покоится в системе отсчета B,
то C движется со скоростью u в системе отсчета A
2) w[0,s]=s
Следует из постулата:
если B покоится в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
то C движется со скоростью s в системе отсчета A.
3) w[w[u,s],v] = w[u,w[s,v]]
Следует из рассуждений:
Пусть B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
D движется со скоростью v в системе отсчета C.
a)из закона сложения скоростей следует
C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A,
D движется со скоростью v в системе отсчета C
откуда снова по закону сложения скоростей
D движется со скоростью w[w[u,s],v] в системе отсчета A
б)из закона сложения скоростей следует
B движется со скоростью u в системе отсчета A,
D движется со скоростью w[s,v] в системе отсчета B
откуда снова по закону сложения скоростей
D движется со скоростью w[u,w[s,v]] в системе отсчета A
4)Из равенства w[u,s1] = w[u,s2] следует равенство
s1=s2
Следуют из постулата:
если два тела движутся с одинаковой скоростью в одной ИСО
то в любой другой ИСО тела движутся с одинаковой
скоростью.
5) w[u,-u]=0
Доказательство.
Из изотропности пространства следует, что если B движется со скоростью u в системе отсчета A, то A движется в системе отсчета B с той же скоростью, но в другом направлении (т.е. со скоростью -u). Откуда если С движется в системе отсчета B с той же скоростью, что и A (т.е. со скоростью -u), то С покоится в системе отсчета A.
6)Из равенства w[u,s]=0 следует
равенство s = -u.
Доказательство.
w[u,s]=0=w[u,-u].
Из 4) следует, что s = -u.
7) w[u,s] = -w[-u,-s]
Доказательство.
Пусть B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
B' движется в системе отсчета A с той же скоростью, что и B, но
в противоположном направлении (т.е. со скоростью -u).
С' движется в системе отсчета B' с той же скоростью, что и C в системе отсчета
B, но в противоположном направлении (т.е. со скоростью -s).
Тогда из изотропности пространства, следует, что C' должна
двигаться в системе отсчета A, с той же скоростью что и C, но в
противоположном направлении.
8) w[u,s] = w[s,u]
Доказательство.
w[w[u,s],-w[s,u]] = w[w[u,s],w[-s,-u]] =
w[u,w[s,w[-s,-u]]] = w[u,w[w[s,-s],-u]] =
w[u,w[0,-u]] = w[u,-u] = 0
Из равенства w[w[u,s],-w[s,u]]=0 следует
равенство w[u,s] = w[s,u] (см. свойство 6).