Несостоятельность НТО

(см. http://www.acmephysics.narod.ru/)

Алексей Егоров

http://www.audioto.com

Гостевая книга

 

ЛЕММА 1

Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета А (с нештрихованными координатами x, y, z, t) и B (со штрихованными координатами x', y', z', t'). Инерциальная система отсчета B движется со скоростью u относительно A. Рассмотрим тело, которое движется относительно системы отсчета B со скоростью s. Пусть зависимость координаты тела в ИСО B от времени ИСО B выглядит следующим образом:

x' = s t' + a'
(Л1 1)

Пусть справедлив некоторый закон сложения скоростей: если B движется со скоростью u в системе отсчета A, С движется со скоростью s в системе отсчета B, то C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A (w[u,s] - функция двух переменных).

Тогда согласно НТО зависимость координаты тела в ИСО A от времени ИСО A выглядит следующим образом:

x = w[u,s] t + a' p[u,s]

где

p[u,s] = Gs/Gw[u,s]
Gs = (1 + s^2/c0^2)^0.5
Gw[u,s] = (1 + w[u,s]^2/c0^2)^0.5

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1

Введем в рассмотрение (кроме двух инерциальных систем отсчета А и B) третью инерциальную систему отсчета Ж (с координатами x", y", z", t"), которая движется со скоростью s относительно системы отсчета B. Обозначим через w скорость движения системы отсчета Ж (и тела) относительно системы отсчета А. Лемма очевидна, если обратить внимание на формулу (7.8) сокращения продольных размеров движущегося тела. Действительно, a' - это расстояние между телом и началом системы отсчета Ж, измеренное в системе отсчета B, значит это расстояние, измеренное в системе отсчета Ж, где тело покоится, в Gs раз больше, чем a', т.е. равно a' Gs. Величина a' p[u,s] есть расстояние между телом и началом системы отсчета Ж, измеренное в системе отсчета A, значит оно в Gw раз меньше этого же расстояния, измеренного в системе отсчета Ж, т.е. величины a' Gs. Таким образом, получаем, что a' p[u,s] = a' Gs/Gw.

Для убедительности проведем доказательство леммы без использования формулы (7.8) сокращения продольных размеров движущегося тела. Будем исходить из основных преобразований координат теории. Т.к. тело покоится в ИСО Ж, то необходимо считать Ж - ПОКОЯЩЕЙСЯ ИСО, A и B - ДВИЖУЩИМИСЯ ИСО. Запишем преобразования координат и времени событий от ПОКОЯЩЕЙСЯ системы отсчета Ж к ДВИЖУЩЕЙСЯ системе отсчета B и от ПОКОЯЩЕЙСЯ системы отсчета Ж к ДВИЖУЩЕЙСЯ системе отсчета А (опуская тривиальные равенства для координат y и z)

x' = Gs (x" + Bs co t" )
cs t' = Gs(co t" + Bs x")
(Л1 7.24)

x = Gw (x" + Bw co t" )
cw t = Gw(co t" + Bw x")
(Л1 7.25)

где

Gs= (1 - Bs^2)^-0.5;
Bs= s/cs;
cs=c0*(1+s^2/c0^2)^0.5
(Л1 7.26)

Gw= (1 - Bw^2)^-0.5;
Bw= w/cw
cw=c0*(1+w^2/c0^2)^0.5
(Л1 7.27)

Разрешив преобразования (Л1 7.24) относительно координат событий в ПОКОЯЩЕЙСЯ системе отсчета Ж, получим преобразования

x" = Gs (x' - Bs cs t' )
co t" = Gs(cs t' - Bs x')
(Л1 7.28)

Подставив выражения (Л1 7.28) в преобразования (Л1 7.25), получим

x = Gs Gw (1 - Bs Bw)[x' + cs t' (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)]

cw t = Gs Gw (1 - Bs Bw)[cs t' + x' (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)]

(Л1 7.29)

Обозначим
Bws= (Bw - Bs)/( 1 - Bs Bw)
(Л1 ~7.31)

Gws= Gs Gw (1 - Bs Bw)
(Л1 ~7.32)

Тогда (Л1 7.29) переписывается в следующем в виде:

x = Gws (x' + Bws cs t')
cw t = Gws (cs t' + Bws x')
(Л1 ~7.30)

Теперь рассмотрим события, происходящие с телом. Для этого подставим (Л1 1) в (Л1 ~7.30):

x = Gws (s t' + a' + Bws cs t')
(Л1 4)

cw t = Gws (cs t' + Bws (s t' + a'))
(Л1 5)

Из (Л1 5) выразим (cs t') через t:

cs t'=((cw/Gws)t - Bws a')/(1 + Bws Bs)
(Л1 6)

Подставим (Л1 6) в (Л1 4):

x = ( (Bws + Bu)cw t + a' Gws (1 - Bws^2))/(1 + Bws Bs)
(Л1 7)

Заметим, что выполняются соотношения (по определению (Л1 ~7.31) и (Л1 ~7.32))

1 + Bws Bs = (1 - Bs^2)/(1-Bs Bw)
Bws + Bs = Bw (1 - Bs^2)/(1-Bs Bw)
1 - Bws^2 = (1 - Bs^2)(1 - Bw^2)/(1-Bs Bw)^2

откуда

(Bws + Bs)/(1 + Bws Bs ) = Bw
(1 - Bws^2 )/(1 + Bws Bs ) = (1 - Bw^2)/(1-Bs Bw)
Gws(1 - Bws^2 )/(1 + Bws Bs ) = Gs/Gw
(Л1 8)

Подставим (Л1 8) в (Л1 7):
x = ( Bw cw t + a' Gs/Gw)
(Л1 9)

Что эквивалентно

x = ( w t + a' Gs/Gw)

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 1

ЛЕММА 2

Рассмотрим некоторую ИСО. Рассмотрим 2 тела, которые движутся относительно ИСО с разными скоростями s1 и s2. Пусть зависимости координат тел в ИСО от времени ИСО выглядят следующим образом:

x1 = s1 t + a1
(Л2 1)

x2 = s2 t + a2
(Л2 2)

Тогда тела встречаются в момент времени рассматриваемой ИСО

t12 = -(a1-a2)/(s1-s2)

и в точке с координатой в рассматриваемой ИСО

x12 = (s1 a2 - s2 a1)/(s1 - s2)

(если a1 = a2, то x12 = a1 = a2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 2

Условие встречи тел:
x1 = x2 (Л2 3)

Подставим (Л2 1) и (Л2 2) в (Л2 3):

s1 t + a1 = s2 t + a2

Откуда находим момент времени при встрече тел:

t = -(a1-a2)/(s1-s2)
(Л2 4)

Подставив (Л2 4) в любое из соотношений (Л2 1) и (Л2 2) получим координату точки, где тела встречаются:

x1 = x2 = (s1 a2 - s2 a1)/(s1 - s2)

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЛЕММЫ 2

ТЕОРЕМА 1

НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s неверна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 ("Проблема трех тел в НТО")

Рассмотрим две движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно инерциальные системы отсчета А (c нештрихованными координатами x, y, z, t) и B (со штрихованными координатами x', y', z', t'). Инерциальная система отсчета B движется со скоростью u относительно A. Рассмотрим три тела 1, 2, 3, которые движутся относительно системы отсчета B с разными скоростями s1, s2, s3 соответственно. Пусть зависимости координат тел в ИСО B от времени ИСО B выглядят следующим образом:

x1' = s1 t' + a'
(Т1 1)

x1' = s2 t' + a'
(Т1 2)

x1' = s3 t' + a'
(Т1 3)

(s1 <> s2, s2 <> s3, s3 <> s1, a' <> 0, u<>0)

Тогда согласно НТО по ЛЕММЕ 1 зависимости координат тел в ИСО A от времени ИСО A выглядят следующим образом:

x1 = w1 t + a1
(Т1 4)

x2 = w2 t + a2
(Т1 5)

x3 = w3 t + a3
(Т1 6)

где

w1 = w[u,s1]
(Т1 7)

w2 = w[u,s2]
(Т1 8)

w3 = w[u,s3]
(Т1 9)

a1 = a' p[u,s1]
(Т1 10)

a2 = a' p[u,s2]
(Т1 11)

a3 = a' p[u,s3]
(Т1 12)

Согласно НТО по ЛЕММЕ 2 тела 1 и 2 встречаются в момент времени ИСО B

t12' = 0
(Т1 17)

и в точке с координатой в ИСО B

x12' = a';
(Т1 18)

тела 2 и 3 встречаются в момент времени ИСО B

t23' = 0
(Т1 19)

и в точке с координатой в ИСО B

x23' = a';
(Т1 20)

тела 3 и 1 встречаются в момент времени ИСО B

t31' = 0
(Т1 21)

и в точке с координатой в ИСО B

x31' = a';
(Т1 22)

тела 1 и 2 встречаются в момент времени ИСО A

t12 = -(a1-a2)/(w1-w2)
(Т1 23)

и в точке с координатой в ИСО A

x12 = (w1 a2 - w2 a1)/(w1 - w2)
(Т1 24)

тела 2 и 3 встречаются в момент времени ИСО A

t23 = -(a2-a3)/(w2-w3)
(Т1 25)

и в точке с координатой в ИСО A

x23 = (w2 a3 - w3 a2)/(w2 - w3)
(Т1 26)

тела 3 и 1 встречаются в момент времени ИСО A

t31 = -(a3-a1)/(w3-w1)
(Т1 27)

и в точке с координатой в ИСО A

x31 = (w3 a1 - w1 a3)/(w3 - w1)
(Т1 28)

Видно, что в ИСО B все три тела встречаются в одно и то же время, и в одной и той же точке:

t12' = t23' = t31'
(Т1 29)

x12' = x23' = x31'
(Т1 30)

Если положить w[u,s] = u + s, то в общем случае, согласно НТО получается, что в ИСО A произвольная пара тел встречается в момент времени и точке, отличные от момента времени и точки встречи другой пары:

t12 <> t23
t23 <> t31
t31 <> t12
(Т1 31)

x12 <> x23
x23 <> x31
x31 <> x12
(Т1 32)

В частности, возьмем
u = 0.5 *c0
s1 = 0.1 * c0
s2 = 0.4 * c0
s3 = 0.9 * c0
(Т1 33)

тогда
t12 = 0.204058097987823 * a'/c0
t23 = 0.037152563068346 * a'/c0
t31 = 0.099742138663150 * a'/c0
x12 = 0.984204583732906 * a'
x23 = 0.833989602305377 * a'
x31 = 0.921615008138102 * a'
(Т1 34)

Таким образом, в НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s не выполняется важный постулат, гласящий, что если в одной системе отсчета два события происходят в одно и то же время, и в одной и той же точке, то в любой другой системе отсчета, эти события происходят в одно и то же время, и в одной и той же точке.

Откуда следует ошибочность НТО с законом сложения скоростей w[u,s] = u + s.

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 1

ТЕОРЕМА 2

Не существует закона сложения скоростей, разрешающего указанную в ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ 1 "Проблему трех тел в НТО".

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Рассмотрим ту ситуация с тремя телами, которая описана в ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМЫ 1. Попробуем подобрать закон сложения скоростей, чтобы выполнялось условие t12=t23=t31, x12=x23=x31.

Для начала, хотя бы попробуем подобрать функцию w[u,s] такую, чтобы выполнялось

t23=t31
(T2 1)

при

s3 = 0
(T2 2)

Покажем, что уже в таком частном случае невозможно найти подходящий закон сложения скоростей.

Подставим (Т1 25) и (Т1 27) (явные выражения t23 и t31) в (T2 1)
(a1-a3)/(w1-w3)=(a2-a3)/(w2-w3)
(Т2 3)

Подставим (Т1 7) - (Т1 12) в (Т2 3):

(p[u,s1]-p[u,s3])/(w[u,s1]-w[u,s3])=(p[u,s2]-p[u,s3])/(w[u,s2]-w[u,s3])
(Т2 4)

Подставим (T2 2) в (Т2 4):

(p[u,s1]-p[u,0])/(w[u,s1]-w[u,0])=(p[u,s2]-p[u,0])/(w[u,s2]-w[u,0])
(Т2 5)

Заметим, что в обеих частях (Т2 5) стоит одна и та же функция, но с различными произвольными ненулевыми аргументами s1 и s2. Откуда следует, что эта функция от аргумента s не зависит. Таким образом получаем:

(p[u,s]-p[u,0])/(w[u,s]-w[u,0])=q[u]
(Т2 6)

где q[u] - некоторая функция от u.

Вспомним (см. формулировку ЛЕММЫ 1), что

p[u,s] = Gs/Gw[u,s]
(Т2 7)

Gs = (1 + s^2/c0^2)^0.5
(Т2 8)

Gw[u,s] = (1 + w[u,s]^2/c0^2)^0.5
(Т2 9)

Подставим (Т2 7) в (Т2 6)

(Gs/Gw[u,s]-1/Gw[u,0])/(w[u,s]-w[u,0])=q[u]
(Т2 10)

Учитывая, что w[u,0]=u (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже), получаем:

(Gs/Gw[u,s]-1/Gu)/(w[u,s]-u)=q[u]
(Т2 11)

где

Gu = (1 + u^2/c0^2)^0.5
(Т2 12)

Подставляя s=-u и учитывая, что w[u,-u]=0 (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже), получаем:

(Gu-1/Gu)/(-u)=q[u]
(Т2 13)

С учетом (Т2 12) перепишем (Т2 13) в виде:

q[u] = -u/(Gu c0^2)
(Т2 14)

Подставим явное выражение q[u] (Т2 14) в (Т2 11):

(Gs/Gw[u,s]-1/Gu)/(w[u,s]-u)=-u/(Gu c0^2)
(Т2 15)

Можно привести (Т2 15) к виду:

1/Gw[u,s]=((u^2 - u w[u,s])/ c0^2 + 1)/(Gu Gs)
(Т2 16)

Мы получили алгебраическое уравнение для w[u,s]. Его можно решить явно, и проверить, удовлетворяет ли w[u,s] всем СВОЙСТВАМ ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ (см. ниже).

Но уже не решая уравнение (Т2 16) можно убедиться, что решение не симметрично относительно u и s.

Из требования w[u,s]= w[s,u] (См. СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ниже) мы получаем, что и правая часть (Т2 16) должна быть симметричной функцией по аргументам u и s. Откуда получаем соотношение:

u^2 - u w[u,s] = s^2 - s w[s,u]
(Т2 17)

что, то же самое

(u - s) w[u,s] = u^2 - s^2

Откуда получаем

w[u,s] = u + s
(Т2 18)

Но легко проверяется, что (Т2 18) не удовлетворяет уравнению (Т2 16). К тому же из ТЕОРЕМЫ 1 мы знаем, что закон сложения скоростей вида (Т2 18) неправильный.

КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 2

СВОЙСТВА ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ

Закон сложения скоростей гласит:
если B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
то C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A,
где w[u,s] - некоторая функция двух переменных.

w[u,s] обладает следующими свойствами.

1) w[u,0]=u

Следует из постулата:
если B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С покоится в системе отсчета B,
то C движется со скоростью u в системе отсчета A

2) w[0,s]=s

Следует из постулата:
если B покоится в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
то C движется со скоростью s в системе отсчета A.

3) w[w[u,s],v] = w[u,w[s,v]]

Следует из рассуждений:
Пусть B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
D движется со скоростью v в системе отсчета C.

a)из закона сложения скоростей следует
C движется со скоростью w[u,s] в системе отсчета A,
D движется со скоростью v в системе отсчета C

откуда снова по закону сложения скоростей
D движется со скоростью w[w[u,s],v] в системе отсчета A

б)из закона сложения скоростей следует
B движется со скоростью u в системе отсчета A,
D движется со скоростью w[s,v] в системе отсчета B

откуда снова по закону сложения скоростей
D движется со скоростью w[u,w[s,v]] в системе отсчета A

4)Из равенства w[u,s1] = w[u,s2] следует равенство
s1=s2

Следуют из постулата:
если два тела движутся с одинаковой скоростью в одной ИСО
то в любой другой ИСО тела движутся с одинаковой
скоростью.

5) w[u,-u]=0

Доказательство.
Из изотропности пространства следует, что если B движется со скоростью u в системе отсчета A, то A движется в системе отсчета B с той же скоростью, но в другом направлении (т.е. со скоростью -u). Откуда если С движется в системе отсчета B с той же скоростью, что и A (т.е. со скоростью -u), то С покоится в системе отсчета A.

6)Из равенства w[u,s]=0 следует
равенство s = -u.

Доказательство.
w[u,s]=0=w[u,-u].
Из 4) следует, что s = -u.

7) w[u,s] = -w[-u,-s]

Доказательство.
Пусть B движется со скоростью u в системе отсчета A,
С движется со скоростью s в системе отсчета B,
B' движется в системе отсчета A с той же скоростью, что и B, но
в противоположном направлении (т.е. со скоростью -u).
С' движется в системе отсчета B' с той же скоростью, что и C в системе отсчета
B, но в противоположном направлении (т.е. со скоростью -s).
Тогда из изотропности пространства, следует, что C' должна
двигаться в системе отсчета A, с той же скоростью что и C, но в
противоположном направлении.

8) w[u,s] = w[s,u]

Доказательство.
w[w[u,s],-w[s,u]] = w[w[u,s],w[-s,-u]] =
w[u,w[s,w[-s,-u]]] = w[u,w[w[s,-s],-u]] =
w[u,w[0,-u]] = w[u,-u] = 0

Из равенства w[w[u,s],-w[s,u]]=0 следует
равенство w[u,s] = w[s,u] (см. свойство 6).




Сайт создан в системе uCoz